G R A P H
Graf adalah :
♦ Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau
point atau node atau titik)
♦ Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari
simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk atau sisi)
Notasi : G(V,E)
Simpul u dan v disebut berdampingan bila terdapat ruas (u,v).
Graf dapat pula disajikan secara geometrik, simpul disajikan
sebagai sebuah titik, sedangkan ruas disajikan sebagai sebuah
garis yang menghubungkan 2 simpul.
Contoh 1 :
Graf G(V,E) dengan :
1. V terdiri dari 4 simpul, yaitu simpul A, B, C dan D
2. E terdiri dari 5 ruas, yaitu e1 = (A, B) e2 = (B, C) e3 = (A, D)
e4 = (C, D) e5 = (B, D)
A e3 D
• •
e1 e5 e4
• •
B e2 C
Banyak simpul disebut ORDER, banyak ruas disebut SIZE dari
graf.
Graf yang lebih umum disebut Multigraf
Contoh 2 :
Graf G(V,E) dengan :
1. V terdiri dari 4 simpul, yaitu simpul A, B, C dan D
2. E terdiri dari 6 ruas, yaitu e1 = (A, C) e2 = (A, A) e3 = (A, D)
e4 = (C, D) e5 = (B, C) e6 = (B, C)
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 2 -
A e2 e3 D
• •
e1 e4
• •
B e5 C
e6
Di sini ruas e2 kedua titik ujungnya adalah simpul yang sama,
yaitu simpul A, disebut Gelung atau Self-Loop. Sedangkan ruas e5
dan e6 mempunyai titik ujung yang sama, yaitu simpul B dan C,
disebut Ruas Berganda atau Ruas Sejajar.
Suatu graf yang tidak mengandung ruas sejajar ataupun self-loop
disebut Graf Sederhana atau Simple Graf.
Suatu graf G’(V’,E’) disebut subgraf dari G(V,E), jika V’ himpunan
bagian dari V dan E’ himpunan bagian dari E.
Jika E’ mengandung semua ruas dari E yang titik ujungnya di V’,
maka G’ disebut subgraf yang direntang oleh V’ (Spanning
subgraf).
Contoh :
A e5 D
G • •
e1 e3 e4
• •
B e2 C
A D
G’ • • G’ subgraf dari G
(namun bukan dibentuk
oleh V’ = {A,B,D})
e1 e3
•
B
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 3 -
G’ subgraf yang dibentuk oleh V’ = (A,B,D)
A e5 D
G’ • •
e1 e3
•
B
G R A P H B E R L A B E L
Graf G disebut graf berlabel jika ruas dan atau simpulnya dikaitkan
dengan suatu besaran tertentu. Jika setiap ruas e dari G dikaitkan
dengan suatu bilangan non negatif d(e), maka d(e) disebut bobot
atau panjang dari ruas e.
DERAJAT GRAF
Derajat simpul V, ditulis d(v) adalah banyaknya ruas yang
menghubungi v. Karena setiap ruas dihitung dua kali ketika
menentukan derajat suatu graf, maka :
Jumlah derajat semua simpul suatu graf (derajat) = dua kali
banyaknya ruas graf (size graf).
Suatu simpul disebut genap/ganjil tergantung apakah derajat
simpul tersebut genap/ganjil. Kalau terdapat self-loop, maka selfloop
dihitung 2 kali pada derajat simpul.
Contoh :
A B F
G • • •
• • • E
C D
Di sini banyaknya ruas = 7, sedangkan derajat masing-masing
simpul adalah :
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 4 -
d(A) = 2 d(D) = 3 derajat graf G = 14
d(B) = 5 d(E) = 1 (2 * 7)
d(C) = 3 d(F) = 0
Catatan : E disebut simpul bergantung/akhir, yakni simpul yang
berderajat satu. Sedangkan F disebut simpul terpencil, yakni
simpul berderajat nol.
KETERHUBUNGAN
Walk atau perjalanan dalam graf G adalah barisan simpul dan
ruas berganti-ganti : v1, e1, v2, e2, …, en-1, vn
Di sini ruas e1 menghubungkan simpul vi dan vI+1
Banyaknya ruas disebut panjang walk.
Walk dapat ditulis lebih singkat dengan hanya menulis deretan
ruas : e1, e2, …, en-1
atau deretan simpul : v1, v2, …, vn-1, vn
v1 disebut simpul awal, vn disebut simpul akhir
Walk disebut tertutup bila v1 = vn , dalam hal lain walk disebut
terbuka, yang menghubungkan v1 dan vn
Trail adalah walk dengan semua ruas dalam barisan berbeda.
Path atau jalur adalah walk dengan semua simpul dalam barisan
berbeda. Jadi path pasti trail, sedangkan trail belum tentu path.
Dengan kata lain : Suatu path adalah suatu trail terbuka dengan
derajat setiap simpulnya = 2, kecuali simpul awal v1 dan vn simpul
akhir berderajat = 1.
Cycle atau sirkuit adalah suatu trail tertutup dengan derajat setiap
simpul = 2.
Contoh :
Graf yang tidak mengandung cycle disebut acyclic, contoh : pohon
atau tree.
Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap 2 simpul dari graf
terdapat jalur yang menghubungkan 2 simpul tersebut.
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 5 -
Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila
subgraf tersebut tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain
yang lebih besar.
Contoh : Graf G terdiri dari 3 komponen
B C
• • • D • F
• A • E
Terlihat misalnya antara D dan A tidak ada jalur.
Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur
terpendek antara ke-2 simpul tersebut.
Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara
simpul-simpul G.
Contoh : Graf G (graf terhubung) terdiri dari 1 komponen
• C • E
A • • D • G
• B • F
Jarak maksimum dalam graf G adalah 3 (yaitu antara A – G atau
B – G ataupun C – G). Jadi diameter = 3.
Kalau order dari G = n, size dari G = e, dan banyaknya komponen
= k, maka didefinisikan :
Rank(G) = n – k Nullity(G) = e – (n – k)
MATRIKS PENYAJIAN GRAF
Pandang bahwa G graf dengan N simpul dan M ruas.
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 6 -
Untuk mempermudah komputasi, graf dapat disajikan dalam
bentuk matriks, disebut Matriks Ruas, yang berukuran (2 x M) atau
(M x 2) yang menyatakan ruas dari graf.
Matriks adjacency dari graf G tanpa ruas sejajar adalah matriks A
berukuran (N x N), yang bersifat :
1, bila ada ruas (vi, vj)
aij =
0, dalam hal lain
Matriks adjacency merupakan matriks simetri.
Untuk graf dengan ruas sejajar, matriks adjacency didefinisikan
sebagai berikut :
p, bila ada p buah ruas menghubungkan (vi, vj) (p > 0)
aij =
0, dalam hal lain
Matriks Incidence dari graf G, tanpa self-loop didefinisikan sebagai
matriks M berukuran (N x M)
1, bila ruas ej berujung di simpul vi,
mij =
0, dalam hal lain
Contoh :
e5
v1 v4 v5
• • •
e4 e8
e1 e2 e6 e7
• •
v2 e3 v3
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 7 -
Matriks Ruas
1 1 1 1 2 3 3 4 1 2
2 3 4 5 3 4 5 5 atau 1 3
1 4
1 5
2 3
3 4
3 5
4 5
Matriks Adjacency : N x N
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 1 1
v2 1 0 1 0 0
v3 1 1 0 1 1
v4 1 0 1 0 1
v5 1 0 1 1 0
Matriks Incidence : N x M
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
v1 1 1 0 1 1 0 0 0
v2 1 0 1 0 0 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 1 1 0
v4 0 0 0 1 0 1 0 1
v5 0 0 0 0 1 0 1 1
GRAF BERARAH (DIGRAF)
Suatu graf berarah (digraf) D terdiri atas 2 himpunan :
1. Himpunan V, anggotanya disebut simpul
2. Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang
disebut ruas berarah atau arkus.
Struktur dan Organisasi Data 2
Graph - 8 -
Notasi : D(V, A)
Simpul, anggota v, digambarkan sebagai titik (atau lingkaran
kecil). Sedangkan arkus a=(u,v), digambarkan sebagai garis
dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul
v. Simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal
dari arkus tersebut.
